集合的发展过程

集合的发展过程

集合论发展历程:

古典集合论

说到古典集合论，我们不得不先介绍一下其背后贡献最大的数学家——康托尔（为数学而“疯”

的数学家），他是古典集合论的创始人，完善了古典集合论的大部分基础理论，对于集合论的产生，占有举足轻重的地位。康托尔于1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡，从小对数学有着浓厚的乐趣，1863年进入柏林大学，之后取得哈勒大学的教授职位，从此一直从事着集合论的创立工作。

黎曼于1854年在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出函数的三角级数表示的唯一性问题，1870年，康托尔受邀海涅解决这一问题，他在1871-1872年间，逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷的情况，认识到了无穷集合

的重要性，这是集合论产生的一个直接原因。

1873年，康托尔在于戴金德的来信中，宣布证明了实数集是不可数的，这一年被称为集合论的诞生年。1874年，康托尔在论文中断言：所有实代数数的集合是可数的，所有实数的集合是不可数的，因此非代数数的超越数是存在的，而且远远多于代数数。康托尔的证明引起了许多数学家的反驳。但是康托尔冒着被称为“神经病”的称号，依然坚持着自己对于集合论的研究。

1878年，康托尔提出一一对应

的概念，作为判断两个集合对等的充要条件。所谓以一一对应，可以理解为：两个集合的元素通过映射，可以建立满射关系，一一对应包含了集合元素基数（也称势，即元素个数）相等，这是研究无穷集合的一个重要概念。用阿列夫0代表自然数集的势，用c代表实数集的势，运用一一对应比较各种无穷集合的大小，其中，无穷集合与有限集合最大的区别在于：无穷集合可以与其子集建立一一对应关系，例如整数与偶数建立一一对应关系，两者的势是相等的。

1883年，康托尔证明了康托尔定理：任何集合的势都小于其幂集（由集合的子集组成的集合）的势，揭示了无穷有无穷多个层次。并且提出了着名的“连续统假设”：可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势。因为实数轴上的数都是连续的，因此在实数范围内的集合的势，又称连续势。再来说一下关于可数集与不可数集的区别，可数集（又称可列集），一种最小的无穷集合，与自然数集对等的集合，都是可数集。

不可数集，与实数集对等的集合，都是不可数集，例如实数轴上的区间、无理数集等等。在连续统假设下，实数范围内的不可数集的势，又称连续统基数，（例如实数集的势），因此，连续统基数是最小的不可数基数。

1895—1897年，康托尔发表了题为《关于超穷集合论的基础》，给出了超限基数和序数的定义，定义了基数与序数的加法、乘法和乘方的运算，建立了集合论的基数理论和序数理论

，自此，康托尔关于集合论的建立工作基本完成。

公理集合论：古典集合论建立之后，得到大多数数学家的肯定，从自然数到集合论可以建立起整个数学大厦，集合论成为了现代数学的基石。希尔伯特、庞加莱（当时的两位数学界的大家）曾在1900年的数学大会上高度赞扬（古典）集合论的重大影响，希尔伯特提出的着名的23个问题中，更是把连续统假设作为第一个问题，可见其对集合论的高度认可。读者读到这里，可能就会想了：既然古典集合论已经很完善，并且有着重要的数学地位，为什么还会有公理集合论的产生呢？

在数学的世界里，各种理论都是在不断完善发展的，集合论同样如此。尽管古典集合论解决了当时许多数学问题，但是经过数学家们的研究，古典集合论仍然存在着漏洞。

1903年，英国数学家罗素提出了着名的“理发师悖论”（规定只给不会给自己理发的理发师，到底该不该给自己理发），紧接着，各种悖论扑面而来，数学家们开始认识到古典集合论的巨大漏洞，间接引发了

第三次数学危机

。既然问题已经出现，就需要解决问题，数学家们纷纷需求解决方案，这就促使了数学家们用公理化方法和数理逻辑去重建集合论。1908年，策梅洛建立了第一个公理集合系统，经过弗伦迪克、冯诺依曼等人的补充，得到了策梅洛——弗伦迪克公理系统，简称ZF系统，加上选择公理后，又称ZFC系统，一直沿用至今。从该系统中，可以导出古典集合论中所有的结果，并且排除了罗素悖论等各种已知悖论。

另外，古典集合论中的连续统假设（CH）、选择公理（AC）在20世纪得到重大突破，1940年，哥德尔证明了CH、AC对于ZF系统的相容性。1963年，科恩证明了CH、AC相对于ZF系统的独立性，即连续统假设在该系统中无法证明，与平行公设不可证相同，也就是说，可以同时存在使CH成立与不成立的系统，正如欧式几何与非欧几何一样。哥德尔曾经提出着名的哥德尔不完备定理，打破了希尔伯特将数学公理化的愿望，任何兼容性的体系，无法用于证明它本身的兼容性。也就是说，在公理集合论中，总会存在属于该系统本身，却又无法用该系统去证明的定理、假设等。

词的发展过程

1、敦煌曲子词

词的产生最早还起于民间。《河传》和《杨柳枝》两调很可能就是隋代的民歌。敦煌曲子词的发现给词史研究提供了丰富的材料。敦煌曲子词使我们看到了早在文人词兴起以前词在民间的盛行情况，看到了初期词在民间的发展和当时词体本身的成熟程度。

2、文人词

文人词在初、盛唐时已偶有所作，如沈佺期作《回波乐》，唐玄宗作《好时光》，张志和作《渔歌》，戴叔伦作《转应曲》，韦应物作《调笑》等。但那时词体还初由民间转到文人手中，所以创作极少。

3、五代词

晚唐五代，文人词进一步确立，出现了词的专家与专集。如温庭筠是第一个大力填词的词人，《花间集》收有他的词六十六首。从此在中国文学史上词独立成为一体，与诗并行发展。

4、宋词

进入宋代以后，名家辈出，经历了词的繁荣时期，词的创作在苏轼、辛弃疾等大词人手中得到了最大的提高与发展。宋词得与唐诗并称，被后人尊为一代文学之胜。词于宋代达到顶峰后，在元明时代衰落了三百多年后，在清代重新进入发展状态

长度的发展过程

对时间和空间的测量自人类有文明以来就是一种刚需，不过测量手段和精度的提高是一个长期演变的过程。

公元前221年，分裂几百年的春秋战国时期在秦始皇手中被终结，同年，始皇颁布法令：“书同文，车同轨，统一度量衡。”其中统一度量衡指的就是把春秋战国以来各地混乱的长度、容量、重量等单位重新统一。

这件事是如此的重要，因为只有使用相同的测量单位，不同地区之间才能实现快速和有效的交流，可以说这是中国能维持长时间大一统格局的重要原因之一。

但是不可否认的是，古代的长度测量无论是精度还是标准化都还有很大不足，不同朝代的度量衡有差异，统一朝代不同地区的也有差异。

之所以存在这样的问题，并不是国家没有能力统一，而是没有那个需求，毕竟还是小农经济，基本能凑合着用，保证大部分地区标准比较一致也就行了。

以上我们可以认为是长度测量的1.0时代，从1.0到2.0，世界发生了怎样的变化呢？

刚才我们说到，古代的度量衡之所以如此的不靠谱，关键其实是没有现实的需求，那么什么时候我们开始需要更精确更标准的度量衡呢？工业时代！

这很好理解吧，工业时代的产品都是标准化生产，并且精度要求很高，即使只是一毫米的误差都可能导致配件不能用，有了需求才用动力嘛。

18世纪末，法国科学院以通过巴黎的子午线从地球赤道到北极点的距离的千万分之一作为标准单位，也就是一米。为什么用这么奇怪的标准呢？因为要确保基本单位恒定不变，应以自然的物理量为基础。

为此，法国科学院专门制定了标准米原器，据测量结果制成一根3.5mm×25mm短形截面的铂质原器——铂杆，以此杆两端之间的距离定为1米，后来又改成铂铱合金米原器。

然而这种米原器还是存在不足，一个是由于刻线工艺、材料变形和测量方法等方面的原因，在复现量值时总有一定误差。此外，万一米原器损坏，复制将无所依据，特别是复制品很难保证与原器完全一致。尽管这个误差可能只有0.1mm，但是对于越来越精密的制造业来说，却是个非常大的问题。

随着精度需求的增加，人类科技手段的提升，标准长度单位又有了新的发展。这次可以叫做长度测量3.0，是信息时代的产物。

1960年国际计量大会改用氪（86Kr）原子的2p10与5d5能级间跃迁辐射在真空中的波长的165,0763.73倍定为标准米。这是一种非实物标准，性能稳定，没有变形问题，容易复现，而且具有很高的复现精度，相对误差不超过4×10-9。

之所以这个标准没有一直使用，一来是因为氪并不容易获取，更重要的原因是到了70年代，光速测定已经变得更精确了。

于是，一米最新的定义变成了：光在真空中行进1/299 792 458秒的距离为一标准米。

光可以说随处可见，只要有仪器就能进行标准米的复制；并且根据爱因斯坦的相对论，光速是一种绝对速度，不会改变，由此定义的长度也非常稳定。

说到这里基本就把长度测量的历史讲完了，很难说现在的定义就能一直存在下去，毕竟随着科技的进步，我们也会找到更合适的定义。

但这都不重要，重要的是你从测量的历史里学到了什么，以下是我的一些思考：

1.任何一些简单的概念和公式背后往往隐藏着更深刻的本质，总是学会问为什么，你才能看的比别人更多。

2.推动社会进步的并不是某个人或某个国家，而是社会发展到某个地步而产生的需求，为了解决这些需求就必然会发展出相应的工具。

3.物理的发展并不是一蹴而就的，它往往受限于与之匹配的技术和社会需求。

沼泽的发展过程

沼泽是地表及地表下层土壤经常过度湿润，地表生长着湿性植物和沼泽植物，有泥炭累积或虽无泥炭累积但有潜育层存在的土地。

沼泽的形成主要取决于地貌条件和水热状况。

地球上除了南极地区还没有发现沼泽外，其余各地都有沼泽分布。总的来说是北半球多于南半球，而且多分布在北半球的亚欧大陆与北美洲的亚北极带、寒带和温带地区。南半球的沼泽面积较小，主要分布在热带和部分温带地区。世界上最大的泥炭沼泽区在西伯利亚西部低地，它南北宽800公里，东西长1800公里，堆积了全球40%的泥炭。我国的沼泽则主要分布在东北三江平原和青藏高原等地。

作文的发展过程

作文什么时候开始的，作文的由来，在过程中的发展趋势

镭的发展过程

居里夫人在进一步的研究中发现，可能还有一种物质能够放射光线。这种光线要比铀放射的光线强得多，她认为，这种新的物质，也就是还未被发现的新元素，只是极少量地存在于矿物之中。 她把它定名为“镭”，在拉丁文中，它的原意就是“放射”。彼埃尔也同意这种见解，可是当时有很多科学家并不相信。他们认为这可能是实验出了错误，有的人还说：“如果真有那种元素，请提取出来，让我们瞧瞧！” 为了得到镭，居里夫妇必须从沥青铀矿中分离出镭来。他们怎样才能得到足够的沥青铀矿呢？这种矿很稀少，矿中铀的含量极少，价格又很昂贵，他们根本买不起。后来，他们得到了奥地利政府赠送的一吨已提取过铀的沥青矿的残渣，开始了提取纯镭的实验。 在一间简陋的窝棚里，居里夫人要把上千公斤的沥青矿残渣，一锅锅地煮沸，还要用棍子在锅里不停地搅拌；要搬动很大的蒸馏瓶，把滚烫的溶液倒进倒出。 就这样，经过3年零9个月锲而不舍的工作，1902年，居里夫妇终于从矿渣中提炼出0.1克镭盐，接着又初步测定了镭的原子量。

虎字义的发展过程

“虎”是象形字。甲骨文是头朝上、尾朝下、腿朝左的一只虎，身上有花纹。金文的形体更为简约。小篆整齐化，就不太像虎了。隶变后楷书写作“虎”。

《说文·虎部》：“虎，山兽之君。从虍，虎足像人足。象形。凡虎之属皆从虎。”（虎，山中野兽的君长。从，虎的足像人的足。像虎蹲踞之形。大凡虎的部属都从虎。）

“虎”的本义就是指老虎，进而引申为勇敢和坚强。如“虎将”。

古代调兵遣将的兵符被做成虎形，称为“虎符”。